Funciones.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).
COMBINACIÓN DE FUNCIONES
Dadas
dos funciones reales de variable real, f y g, se
llama composición de las
funciones
f y g, y
se escribe g o f, a la función definida de R en R,
por (g o f )(x) = g[f(x)].
La
función ( g o f )(x) se lee « f compuesto
con g aplicado a x ».
Primero actúa la función f y
después actúa la función g, sobre f(x).
función compuesta
Para
obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x,
se siguen estos pasos:
1. Se calcula la
imagen de x mediante la función f, f(x).
2. Se calcula la
imagen mediante la función g, de f(x). Es decir,
se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.
Ejercicio:
Sean
las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.
Calcular g o f y
la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.
Resolución:
Función cuadrática.
Una función
cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c,
donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un
grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con
áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican
gravedad o aceleración.
Las gráficas de las
funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente
relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas,
aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las
maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.
Graficando con Puntos
Una función
cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la
variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
La función cuadrática
más básica y simple tiene la ecuación y =x". Si hacemos una tabla con los
valores de esta función vemos
que el rango (los
valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En
una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad
cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con
una función cuadrática:
x
|
y = x2
|
-3
|
9
|
-2
|
4
|
-1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
2
|
4
|
3
|
9
|
Los valores de y no cambian por una cantidad constante.
Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:
Después de graficar
algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea,
que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa
la función.
Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:
Ahora dibujamos una curva suave conectando
los puntos.
¡Mejor! Una función
cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian
suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver
la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.
Características de
una Parábola
Las parábolas tienen
muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una
parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde
la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de
dirección:
El vértice es el
punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba
o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será
su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su
punto más alto.
Que es
una función polinomiales ?
Las funciones polinomiales están entre las expresiones más
sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas
multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para
aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una
función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una
función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la
potencia más alta que aparece de x.
Una función
polinomial es una función en
que f ( x ) es un polinomio en x .
Una función
polinomial de grado n es escrita como
.
Las funciones
polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.
Función Exponencial.
La función exponencial, es
conocida formalmente como la función real ex, donde es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de
definición el conjunto
de los números reales, y tiene la
particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota
equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde es la base de los logaritmos naturales
y corresponde a la función
inversa del logaritmo natural.
En
términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico
de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.1
Propiedades.
La función exponencial
( exponenciales en base distinta a e)
satisfacen las siguientes propiedades generales.
·
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por
una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
La importancia de las funciones
exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades
de su derivada. En
particular,
Es decir, ex es
su propia derivada. Es la única función
con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función
exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
·
La razón de aumento de la función en x es igual al
valor de la función en x.
Si la base de la función exponencial
es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada
se puede generalizar así:
Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a.
En el caso particular de a = e resulta que
ln(e) = 1 y por lo tanto .
Vídeo.
paginas que contienen ejemplos.
http://www.vitutor.com/fun/2/a_a.html
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm
